Розділ IV. Чисельне інтегрування §1. Наближене обчислення інтегралів. Інтерполяційні квадратурні формули Нехай потрібно обчислити інтеграл  EMBED Equation.3 
 (1) де  EMBED Equation.3 
– задана інтегровна на  EMBED Equation.3 
 вагова функція,  EMBED Equation.3 
 – задана достатньо гладка на  EMBED Equation.3 
 функція. Для наближеного обчислення (1) будемо розглядати формули вигляду  EMBED Equation.3 
 (2) які називаються квадратурними формулами. Числа  EMBED Equation.3 
 називають вузлами квадратурної формули, а числа  EMBED Equation.3 
 – коефіцієнтами, або ваговими коефіцієнтами. Величина  EMBED Equation.3 
 називається залишковим членом, або похибкою квадратурної формули. Якщо залишковий член квадратурної формули дорівнює нулю для будь-якого многочлена не вище  EMBED Equation.3 
-го степеня, то кажуть, що квадратурна формула має алгебраїчну степінь точності  EMBED Equation.3 
. Якщо функцію  EMBED Equation.3 
 на  EMBED Equation.3 
 замінити інтерполяційним поліномом Лагранжа  EMBED Equation.3 
 то одержимо квадратурну формулу інтерполяційного типу. У цьому випадку  EMBED Equation.3 
. (3) Очевидно, що алгебраїчна степінь точності квадратурної формули інтерполяційного типу (2) з ваговими коефіцієнтами (3) є щонайменше  EMBED Equation.3 
. Дійсно, якщо  EMBED Equation.3 
 – многочлен степеня  EMBED Equation.3 
, то його можна записати у вигляді інтерполяційного многочлена Лагранжа, а тому  EMBED Equation.3 
. Дамо оцінку похибки квадратурної формули інтерполяційного типу. Запишемо функцію  EMBED Equation.3 
 у вигляді  EMBED Equation.3 
, де  EMBED Equation.3 
 – похибка інтерполяції. Тоді  EMBED Equation.3 
 Отже, залишковий член  EMBED Equation.3 
 квадратурної формули інтерполяційного типу дорівнює  EMBED Equation.3 
 де  EMBED Equation.3 
. Звідси, якщо  EMBED Equation.3 
, то для залишкового члена квадратурної форми інтерполяційного типу справджується оцінка  EMBED Equation.3 
 (4) §2. Квадратурні формули Ньютона – Котеса Якщо у квадратурній формулі (2) з ваговими коефіцієнтами (3) для інтегралів (1) з  EMBED Equation.3 
 вузли рівновіддалені, тобто  EMBED Equation.3 
 то така формула називається квадратурною формулою Ньютона-Котеса. У формулах Ньютона-Котеса крок  EMBED Equation.3 
. Тоді квадратурна формула (2), (3) буде мати вигляд  EMBED Equation.3 
 (1) де  EMBED Equation.3 
 Зробимо заміну змінних  EMBED Equation.3 
. Тоді  EMBED Equation.3 
 і  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
 Отже,  EMBED Equation.3 
 Позначимо  EMBED Equation.3 
, (2) тоді  EMBED Equation.3 
. (3) Коефіцієнти  EMBED Equation.3 
 не залежать від проміжку інтегрування  EMBED Equation.3 
 і можуть бути обчислені один раз. Оцінка залишкового члена квадратурних формул Ньютона-Котеса має вигляд  EMBED Equation.3 
 (4) На практиці використовують часткові випадки формул Ньютона – Котеса при невеликих  EMBED Equation.3 
, оскільки при великих  EMBED Equation.3 
 деякі коефіцієнти  EMBED Equation.3 
 стають від’ємними, що призводить до великих похибок заокруглень. Розглянемо детальніше формули Ньютона-Котеса. Нехай  EMBED Equation.3 
, тобто підінтегральну функцію замінимо інтерполяційним многочленом нульового степеня  EMBED Equation.3 
, тоді  EMBED Equation.3 
. Ця формула називається формулою лівих прямокутників. Якщо  EMBED Equation.3 
, то одержимо формулу правих прямокутників  EMBED Equation.3 
. А при  EMBED Equation...